<h2>题目编号 : 157</h2>
<div style="color:#666;font-size:80%;">01 June 2007</div><br />
<div class="problem_content">
<p>Consider the diophantine equation <img src="" style="display:none;" alt="^(" /><sup>1</sup><img src="" style="display:none;" alt=")" />/<img src="" style="display:none;" alt="_(" /><sub><var>a</var></sub><img src="" style="display:none;" alt=")" />+<img src="" style="display:none;" alt="^(" /><sup>1</sup><img src="" style="display:none;" alt=")" />/<img src="" style="display:none;" alt="_(" /><sub><var>b</var></sub><img src="" style="display:none;" alt=")" />= <img src="" style="display:none;" alt="^(" /><sup><var>p</var></sup><img src="" style="display:none;" alt=")" />/<img src="" style="display:none;" alt="_(" /><sub>10<img src="" style="display:none;" alt="^(" /><sup><var>n</var></sup><img src="" style="display:none;" alt=")" /></sub><img src="" style="display:none;" alt=")" /> with <var>a, b, p, n</var> positive integers and <var>a</var> <img src='images/symbol_le.gif' width='10' height='12' alt='&le;' border='0' style='vertical-align:middle;' /> <var>b</var>.<br />
For <var>n</var>=1 this equation has 20 solutions that are listed below:</p>
<table><tr>
<td width="120"><img src="" style="display:none;" alt="^(" /><sup>1</sup><img src="" style="display:none;" alt=")" />/<img src="" style="display:none;" alt="_(" /><sub>1</sub><img src="" style="display:none;" alt=")" />+<img src="" style="display:none;" alt="^(" /><sup>1</sup><img src="" style="display:none;" alt=")" />/<img src="" style="display:none;" alt="_(" /><sub>1</sub><img src="" style="display:none;" alt=")" />=<img src="" style="display:none;" alt="^(" /><sup>20</sup><img src="" style="display:none;" alt=")" />/<img src="" style="display:none;" alt="_(" /><sub>10</sub><img src="" style="display:none;" alt=")" /></td>
<td width="120"><img src="" style="display:none;" alt="^(" /><sup>1</sup><img src="" style="display:none;" alt=")" />/<img src="" style="display:none;" alt="_(" /><sub>1</sub><img src="" style="display:none;" alt=")" />+<img src="" style="display:none;" alt="^(" /><sup>1</sup><img src="" style="display:none;" alt=")" />/<img src="" style="display:none;" alt="_(" /><sub>2</sub><img src="" style="display:none;" alt=")" />=<img src="" style="display:none;" alt="^(" /><sup>15</sup><img src="" style="display:none;" alt=")" />/<img src="" style="display:none;" alt="_(" /><sub>10</sub><img src="" style="display:none;" alt=")" /></td>
<td width="120"><img src="" style="display:none;" alt="^(" /><sup>1</sup><img src="" style="display:none;" alt=")" />/<img src="" style="display:none;" alt="_(" /><sub>1</sub><img src="" style="display:none;" alt=")" />+<img src="" style="display:none;" alt="^(" /><sup>1</sup><img src="" style="display:none;" alt=")" />/<img src="" style="display:none;" alt="_(" /><sub>5</sub><img src="" style="display:none;" alt=")" />=<img src="" style="display:none;" alt="^(" /><sup>12</sup><img src="" style="display:none;" alt=")" />/<img src="" style="display:none;" alt="_(" /><sub>10</sub><img src="" style="display:none;" alt=")" /></td>
<td width="120"><img src="" style="display:none;" alt="^(" /><sup>1</sup><img src="" style="display:none;" alt=")" />/<img src="" style="display:none;" alt="_(" /><sub>1</sub><img src="" style="display:none;" alt=")" />+<img src="" style="display:none;" alt="^(" /><sup>1</sup><img src="" style="display:none;" alt=")" />/<img src="" style="display:none;" alt="_(" /><sub>10</sub><img src="" style="display:none;" alt=")" />=<img src="" style="display:none;" alt="^(" /><sup>11</sup><img src="" style="display:none;" alt=")" />/<img src="" style="display:none;" alt="_(" /><sub>10</sub><img src="" style="display:none;" alt=")" /></td>
<td width="120"><img src="" style="display:none;" alt="^(" /><sup>1</sup><img src="" style="display:none;" alt=")" />/<img src="" style="display:none;" alt="_(" /><sub>2</sub><img src="" style="display:none;" alt=")" />+<img src="" style="display:none;" alt="^(" /><sup>1</sup><img src="" style="display:none;" alt=")" />/<img src="" style="display:none;" alt="_(" /><sub>2</sub><img src="" style="display:none;" alt=")" />=<img src="" style="display:none;" alt="^(" /><sup>10</sup><img src="" style="display:none;" alt=")" />/<img src="" style="display:none;" alt="_(" /><sub>10</sub><img src="" style="display:none;" alt=")" /></td>
</tr><tr>
<td width="120"><img src="" style="display:none;" alt="^(" /><sup>1</sup><img src="" style="display:none;" alt=")" />/<img src="" style="display:none;" alt="_(" /><sub>2</sub><img src="" style="display:none;" alt=")" />+<img src="" style="display:none;" alt="^(" /><sup>1</sup><img src="" style="display:none;" alt=")" />/<img src="" style="display:none;" alt="_(" /><sub>5</sub><img src="" style="display:none;" alt=")" />=<img src="" style="display:none;" alt="^(" /><sup>7</sup><img src="" style="display:none;" alt=")" />/<img src="" style="display:none;" alt="_(" /><sub>10</sub><img src="" style="display:none;" alt=")" /></td>
<td width="120"><img src="" style="display:none;" alt="^(" /><sup>1</sup><img src="" style="display:none;" alt=")" />/<img src="" style="display:none;" alt="_(" /><sub>2</sub><img src="" style="display:none;" alt=")" />+<img src="" style="display:none;" alt="^(" /><sup>1</sup><img src="" style="display:none;" alt=")" />/<img src="" style="display:none;" alt="_(" /><sub>10</sub><img src="" style="display:none;" alt=")" />=<img src="" style="display:none;" alt="^(" /><sup>6</sup><img src="" style="display:none;" alt=")" />/<img src="" style="display:none;" alt="_(" /><sub>10</sub><img src="" style="display:none;" alt=")" /></td>
<td width="120"><img src="" style="display:none;" alt="^(" /><sup>1</sup><img src="" style="display:none;" alt=")" />/<img src="" style="display:none;" alt="_(" /><sub>3</sub><img src="" style="display:none;" alt=")" />+<img src="" style="display:none;" alt="^(" /><sup>1</sup><img src="" style="display:none;" alt=")" />/<img src="" style="display:none;" alt="_(" /><sub>6</sub><img src="" style="display:none;" alt=")" />=<img src="" style="display:none;" alt="^(" /><sup>5</sup><img src="" style="display:none;" alt=")" />/<img src="" style="display:none;" alt="_(" /><sub>10</sub><img src="" style="display:none;" alt=")" /></td>
<td width="120"><img src="" style="display:none;" alt="^(" /><sup>1</sup><img src="" style="display:none;" alt=")" />/<img src="" style="display:none;" alt="_(" /><sub>3</sub><img src="" style="display:none;" alt=")" />+<img src="" style="display:none;" alt="^(" /><sup>1</sup><img src="" style="display:none;" alt=")" />/<img src="" style="display:none;" alt="_(" /><sub>15</sub><img src="" style="display:none;" alt=")" />=<img src="" style="display:none;" alt="^(" /><sup>4</sup><img src="" style="display:none;" alt=")" />/<img src="" style="display:none;" alt="_(" /><sub>10</sub><img src="" style="display:none;" alt=")" /></td>
<td width="120"><img src="" style="display:none;" alt="^(" /><sup>1</sup><img src="" style="display:none;" alt=")" />/<img src="" style="display:none;" alt="_(" /><sub>4</sub><img src="" style="display:none;" alt=")" />+<img src="" style="display:none;" alt="^(" /><sup>1</sup><img src="" style="display:none;" alt=")" />/<img src="" style="display:none;" alt="_(" /><sub>4</sub><img src="" style="display:none;" alt=")" />=<img src="" style="display:none;" alt="^(" /><sup>5</sup><img src="" style="display:none;" alt=")" />/<img src="" style="display:none;" alt="_(" /><sub>10</sub><img src="" style="display:none;" alt=")" /></td>
</tr><tr>
<td width="120"><img src="" style="display:none;" alt="^(" /><sup>1</sup><img src="" style="display:none;" alt=")" />/<img src="" style="display:none;" alt="_(" /><sub>4</sub><img src="" style="display:none;" alt=")" />+<img src="" style="display:none;" alt="^(" /><sup>1</sup><img src="" style="display:none;" alt=")" />/<img src="" style="display:none;" alt="_(" /><sub>20</sub><img src="" style="display:none;" alt=")" />=<img src="" style="display:none;" alt="^(" /><sup>3</sup><img src="" style="display:none;" alt=")" />/<img src="" style="display:none;" alt="_(" /><sub>10</sub><img src="" style="display:none;" alt=")" /></td>
<td width="120"><img src="" style="display:none;" alt="^(" /><sup>1</sup><img src="" style="display:none;" alt=")" />/<img src="" style="display:none;" alt="_(" /><sub>5</sub><img src="" style="display:none;" alt=")" />+<img src="" style="display:none;" alt="^(" /><sup>1</sup><img src="" style="display:none;" alt=")" />/<img src="" style="display:none;" alt="_(" /><sub>5</sub><img src="" style="display:none;" alt=")" />=<img src="" style="display:none;" alt="^(" /><sup>4</sup><img src="" style="display:none;" alt=")" />/<img src="" style="display:none;" alt="_(" /><sub>10</sub><img src="" style="display:none;" alt=")" /></td>
<td width="120"><img src="" style="display:none;" alt="^(" /><sup>1</sup><img src="" style="display:none;" alt=")" />/<img src="" style="display:none;" alt="_(" /><sub>5</sub><img src="" style="display:none;" alt=")" />+<img src="" style="display:none;" alt="^(" /><sup>1</sup><img src="" style="display:none;" alt=")" />/<img src="" style="display:none;" alt="_(" /><sub>10</sub><img src="" style="display:none;" alt=")" />=<img src="" style="display:none;" alt="^(" /><sup>3</sup><img src="" style="display:none;" alt=")" />/<img src="" style="display:none;" alt="_(" /><sub>10</sub><img src="" style="display:none;" alt=")" /></td>
<td width="120"><img src="" style="display:none;" alt="^(" /><sup>1</sup><img src="" style="display:none;" alt=")" />/<img src="" style="display:none;" alt="_(" /><sub>6</sub><img src="" style="display:none;" alt=")" />+<img src="" style="display:none;" alt="^(" /><sup>1</sup><img src="" style="display:none;" alt=")" />/<img src="" style="display:none;" alt="_(" /><sub>30</sub><img src="" style="display:none;" alt=")" />=<img src="" style="display:none;" alt="^(" /><sup>2</sup><img src="" style="display:none;" alt=")" />/<img src="" style="display:none;" alt="_(" /><sub>10</sub><img src="" style="display:none;" alt=")" /></td>
<td width="120"><img src="" style="display:none;" alt="^(" /><sup>1</sup><img src="" style="display:none;" alt=")" />/<img src="" style="display:none;" alt="_(" /><sub>10</sub><img src="" style="display:none;" alt=")" />+<img src="" style="display:none;" alt="^(" /><sup>1</sup><img src="" style="display:none;" alt=")" />/<img src="" style="display:none;" alt="_(" /><sub>10</sub><img src="" style="display:none;" alt=")" />=<img src="" style="display:none;" alt="^(" /><sup>2</sup><img src="" style="display:none;" alt=")" />/<img src="" style="display:none;" alt="_(" /><sub>10</sub><img src="" style="display:none;" alt=")" /></td>
</tr><tr>
<td width="120"><img src="" style="display:none;" alt="^(" /><sup>1</sup><img src="" style="display:none;" alt=")" />/<img src="" style="display:none;" alt="_(" /><sub>11</sub><img src="" style="display:none;" alt=")" />+<img src="" style="display:none;" alt="^(" /><sup>1</sup><img src="" style="display:none;" alt=")" />/<img src="" style="display:none;" alt="_(" /><sub>110</sub><img src="" style="display:none;" alt=")" />=<img src="" style="display:none;" alt="^(" /><sup>1</sup><img src="" style="display:none;" alt=")" />/<img src="" style="display:none;" alt="_(" /><sub>10</sub><img src="" style="display:none;" alt=")" /></td>
<td width="120"><img src="" style="display:none;" alt="^(" /><sup>1</sup><img src="" style="display:none;" alt=")" />/<img src="" style="display:none;" alt="_(" /><sub>12</sub><img src="" style="display:none;" alt=")" />+<img src="" style="display:none;" alt="^(" /><sup>1</sup><img src="" style="display:none;" alt=")" />/<img src="" style="display:none;" alt="_(" /><sub>60</sub><img src="" style="display:none;" alt=")" />=<img src="" style="display:none;" alt="^(" /><sup>1</sup><img src="" style="display:none;" alt=")" />/<img src="" style="display:none;" alt="_(" /><sub>10</sub><img src="" style="display:none;" alt=")" /></td>
<td width="120"><img src="" style="display:none;" alt="^(" /><sup>1</sup><img src="" style="display:none;" alt=")" />/<img src="" style="display:none;" alt="_(" /><sub>14</sub><img src="" style="display:none;" alt=")" />+<img src="" style="display:none;" alt="^(" /><sup>1</sup><img src="" style="display:none;" alt=")" />/<img src="" style="display:none;" alt="_(" /><sub>35</sub><img src="" style="display:none;" alt=")" />=<img src="" style="display:none;" alt="^(" /><sup>1</sup><img src="" style="display:none;" alt=")" />/<img src="" style="display:none;" alt="_(" /><sub>10</sub><img src="" style="display:none;" alt=")" /></td>
<td width="120"><img src="" style="display:none;" alt="^(" /><sup>1</sup><img src="" style="display:none;" alt=")" />/<img src="" style="display:none;" alt="_(" /><sub>15</sub><img src="" style="display:none;" alt=")" />+<img src="" style="display:none;" alt="^(" /><sup>1</sup><img src="" style="display:none;" alt=")" />/<img src="" style="display:none;" alt="_(" /><sub>30</sub><img src="" style="display:none;" alt=")" />=<img src="" style="display:none;" alt="^(" /><sup>1</sup><img src="" style="display:none;" alt=")" />/<img src="" style="display:none;" alt="_(" /><sub>10</sub><img src="" style="display:none;" alt=")" /></td>
<td width="120"><img src="" style="display:none;" alt="^(" /><sup>1</sup><img src="" style="display:none;" alt=")" />/<img src="" style="display:none;" alt="_(" /><sub>20</sub><img src="" style="display:none;" alt=")" />+<img src="" style="display:none;" alt="^(" /><sup>1</sup><img src="" style="display:none;" alt=")" />/<img src="" style="display:none;" alt="_(" /><sub>20</sub><img src="" style="display:none;" alt=")" />=<img src="" style="display:none;" alt="^(" /><sup>1</sup><img src="" style="display:none;" alt=")" />/<img src="" style="display:none;" alt="_(" /><sub>10</sub><img src="" style="display:none;" alt=")" /></td>
</tr></table>
<p>How many solutions has this equation for 1 <img src='images/symbol_le.gif' width='10' height='12' alt='&le;' border='0' style='vertical-align:middle;' /> <var>n</var> <img src='images/symbol_le.gif' width='10' height='12' alt='&le;' border='0' style='vertical-align:middle;' /> 9?</p>
</div><br />
